結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析將涉及到模態(tài)分析(modal analysis)、瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析(transient dynamics analysis)、簡諧響應(yīng)分析(harmonic response analysis)、隨機(jī)譜分析(spectrum analysis) 等方面，其中結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析（固有頻率與振型）將是所有振動(dòng)分析的基礎(chǔ)，下面將就結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析進(jìn)行闡述。
結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析的基本方程
描述結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特征的基本力學(xué)變量和方程與靜力問題類似，但增加了慣性力項(xiàng)和阻尼力項(xiàng)，且所有的變量都將隨時(shí)間而變化。
結(jié)構(gòu)振動(dòng)的三大變量
- 位移：u(ξ,t)，v(ξ,t)
- 應(yīng)變：εx(ξ,t)，εy(ξ,t)，γxy(ξ,t)
- 應(yīng)力：σx(ξ,t)，σy(ξ,t)，τ(ξ,t) 是坐標(biāo)位置ξ(x,y,z) 和時(shí)間t 的函數(shù)。
結(jié)構(gòu)振動(dòng)的三大類方程及邊界/初始條件
1. 平衡方程（考慮慣性力和阻尼力）
2. 幾何方程
3. 物理方程
4. 邊界/初始條件BC/IC
- 位移邊界條件BC(u)
- 力邊界條件BC(p)
- 初始條件IC(initial condition)
結(jié)構(gòu)振動(dòng)的有限元分析列式
用于動(dòng)力學(xué)問題分析的單元構(gòu)造與靜力問題相同，不同之處是所有基于節(jié)點(diǎn)的基本力學(xué)變量也都是時(shí)間的函數(shù)。
單元的節(jié)點(diǎn)位移列陣為
單元內(nèi)的位移插值函數(shù)為
其中，N(ξ) 為單元的形狀函數(shù)矩陣，與相對應(yīng)的靜力問題單元的形狀函數(shù)矩陣完全相同，ξ 為單元中的幾何位置坐標(biāo)。
基于上面的幾何方程和物理方程以及上式，將相關(guān)的物理量（應(yīng)變和應(yīng)力）表達(dá)為節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，有
單元有限元方程
將單元的各個(gè)矩陣進(jìn)行組裝，可形成系統(tǒng)的整體有限元方程，即
1. 靜力學(xué)情形 (static case)
由于與時(shí)間無關(guān)，則
退化為
2. 無阻尼情形 (undamped system)
此時(shí)v=0，則方程
退化為
3. 無阻尼自由振動(dòng)情形 (free vibration of undamped system)
則v=0，Pt=0，方程
退化為
其振動(dòng)形式叫做自由振動(dòng) (free vibration)，該方程解的形式為
這是簡諧振動(dòng)的形式，其中ω 為常數(shù)。將其代入
有
上式有非零解的條件是
這就是特征方程(eigen equation)，ω為自然圓頻率(natural circular frequency)(rad/sec)，也叫圓頻率，對應(yīng)的頻率為f=ω/2π(Hz)。求得自然圓頻率ω 后，再將其代入方程
可求出對應(yīng)的特征向量 (eigen vector)?q ，這就是對應(yīng)于振動(dòng)頻率ω 的振型 (mode)。
常用單元的質(zhì)量矩陣
結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析將涉及到結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，由
可知，動(dòng)力學(xué)問題中的剛度矩陣與靜力問題的剛度矩陣完全相同，而質(zhì)量矩陣則通過下式來進(jìn)行計(jì)算
對于一種單元，只要得到它的形狀函數(shù)矩陣，就可以容易地計(jì)算出質(zhì)量矩陣。由阻尼矩陣的計(jì)算公式
可知，它的計(jì)算與質(zhì)量矩陣相同，只是有關(guān)的系數(shù)不同而已。下面給出常見單元的質(zhì)量矩陣。
桿單元的質(zhì)量矩陣
質(zhì)量矩陣分為兩種，即一致質(zhì)量矩陣和集中質(zhì)量矩陣。
1. 一致質(zhì)量矩陣
對于二節(jié)點(diǎn)桿單元，在局部坐標(biāo)內(nèi)有節(jié)點(diǎn)位移列陣和形狀函數(shù)矩陣
相應(yīng)的質(zhì)量矩陣為
所謂一致質(zhì)量矩陣 (consistent mass matrix) 是指，推導(dǎo)質(zhì)量矩陣時(shí)與推導(dǎo)剛度矩陣時(shí)所使用的形狀函數(shù)矩陣相“一致”。
2. 集中質(zhì)量矩陣
將該二節(jié)點(diǎn)桿單元的質(zhì)量直接對半平分，集中到二個(gè)節(jié)點(diǎn)上，就可以得到集中質(zhì)量矩陣 (lumped mass matrix)為
可以看出，集中質(zhì)量矩陣的系數(shù)都集中在矩陣的對角線上，也就是說對應(yīng)于各個(gè)自由度的質(zhì)量系數(shù)相互獨(dú)立，相互之間無耦合；而一致質(zhì)量矩陣的系數(shù)則有相互耦合。
平面三節(jié)點(diǎn)三角形單元的質(zhì)量矩陣
1. 一致質(zhì)量矩陣
2. 集中質(zhì)量矩陣
來源：節(jié)選自《有限元分析及應(yīng)用》，作者：曾攀 清華大學(xué)
,本文鏈接：http://www.7280.com.cn/news-521542.html結(jié)構(gòu)振動(dòng)的有限元分析基礎(chǔ)（結(jié)構(gòu)振動(dòng)的有限元分析基礎(chǔ)）
